メイン 科学と技術 フィボナッチ数列の公式: フィボナッチ数列の求め方

フィボナッチ数列の公式: フィボナッチ数列の求め方

フィボナッチ数列は、自然界で繰り返される数字のパターンです。

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フィボナッチ数列とは?

フィボナッチ数列は、数論で最もよく知られた式の 1 つであり、線形回帰関係によって定義される最も単純な整数列の 1 つです。フィボナッチ数列では、数列の各数値は、その前の 2 つの数値の合計であり、最初の 2 つの数値は 0 と 1 です。フィボナッチ数列は、0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 などのように始まります。フィボナッチ数列は、高度な数学と統計、コンピューター サイエンス、経済学、自然界での応用に役立ちます。

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フィボナッチ数列の起源

フィボナッチ数列は、紀元前 200 年という早い時期に古代サンスクリット語のテキストに初めて登場しましたが、1202 年にイタリアの数学者 Leonardo Pisano Bogollo が彼の計算の本でそれを出版した 1202 年まで、西欧諸国に広く知られることはありませんでした。 リベル・アバチ .レオナルドもまたピサのレオナルドと呼ばれていましたが、歴史家が彼にフィボナッチ (「ボナッチの息子」と大まかに訳す) というニックネームを付けたのは 1838 年になってからです。フィボナッチ数列の普及に加え、フィボナッチの本 リベル・アバチ ヒンドゥー・アラビア数字 (1、2、3、4 など) の使用を提唱し、ヨーロッパ中でローマ数字システム (I、II、III、IV など) に取って代わるのを助けました。

リベル・アバチ 、フィボナッチ数列は実際にウサギの個体数の増加を含む仮説的な数学の問題に答えるために使用されました: 1 組のウサギが毎月末に交尾した場合、交尾から 1 か月後に新しいペアのウサギが誕生します。ウサギも同じパターンに従いますが、1 年に何組のウサギまたは何組のウサギが存在するでしょうか?この問題への回答を開始する方法は次のとおりです。



  • で始める 1 うさぎのペア。
  • 最初の月の終わりには、まだ 1 交尾してからまだ出産していないうさぎのペア。
  • 2か月目の終わりには、 最初のペアが今、2 番目のペアを出産して以来、ウサギのペア。
  • 3か月目の終わりには、 3 ウサギのペア。これは、最初のペアが 3 番目のペアを産んだが、2 番目のペアは交尾しただけだからです。
  • 4か月目の終わりには、現在、 5 ウサギのペア。これは、最初のペアが別のペアを生み、2 番目のペアが最初のペアを生んだためです。

ご覧のとおり、この 1、1、2、3、5 のパターンはフィボナッチ数列に従います。 12ヶ月続けると、ペア数は144になります。

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フィボナッチ数列

フィボナッチ数列の連続する各フィボナッチ数を計算するには、次の式を使用します。

フィボナッチ数列

ここで、 プログラミング 安全 トーキョーは、系列のフィボナッチ数列目であり、最初の 2 つの数値、 エンコーダー トーキョー 0 と トヨタ トーキョー 1 は、それぞれ 0 と 1 に設定されます。



この式の唯一の問題は、それが再帰式であることです。つまり、前の数字を使用してシーケンスの各番号を定義します。したがって、フィボナッチ数列の 10 番目の数を計算する場合は、最初に 9 番目と 8 番目を計算する必要がありますが、9 番目の数を取得するには、8 番目と 7 番目が必要になります。

フィボナッチ数列内の任意の数を見つけるには、先行する数がまったく含まれていないため、Binet の式と呼ばれる閉形式の式を使用できます。

フィボナッチ数列

ビネの公式では、ギリシア文字のファイ (φ) は、黄金比 (1 + √ 5)/2 と呼ばれる無理数を表し、1000 分の 1 の位に四捨五入すると 1.618 になります。

フィボナッチ数列と黄金比

黄金比 (または黄金分割) は、2 つの数の比率が、それらの合計と 2 つの数の大きい方の比率と同じである場合に生じる無理数です。フィボナッチ数列は黄金比と密接に関係しています。なぜなら、フィボナッチ数列が増えるにつれて、2 つの連続するフィボナッチ数列の比率が黄金比に近づくからです。

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自然界のフィボナッチ数列

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フィボナッチ数列と黄金比が現実世界のどこにあるのかについては、かなりの誤った情報があります。何を読んでも、黄金比はギザのピラミッドの構築には使用されず、オウムガイの貝殻はフィボナッチ数列に基づいて新しい細胞を成長させません。

しかし、フィボナッチ数列と黄金比の背後にあるこれらの数学的特性は、さまざまな形で自然界に現れています。たとえば、いくつかの植物の葉の螺旋配置 (葉軸と呼ばれる) や、松ぼっくり、カリフラワー、パイナップルの黄金螺旋パターン、ひまわりの種子の配置に黄金比が見られます。さらに、花の花びらの数は通常、フィボナッチ数です。

さらに、ミツバチのドローンの家系図はフィボナッチ数列に従います。これは、オスのドローンが無精卵から孵化し、親が1つしかないのに対し、メスのミツバチは2つの親を持つためです。これにより、フィボナッチ数列全体で、1 人の親、2 人の祖父母、3 人の曾祖父母、5 人の曾祖父母などで構成されるドローンの家系図が作成されます。

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